Movimento Browniano Geométrico Forexworld

Simulação de Monte Carlo com GBM Uma das formas mais comuns de estimar o risco é o uso de uma simulação de Monte Carlo (MCS). Por exemplo, para calcular o valor em risco (VaR) de um portfólio, podemos executar uma simulação de Monte Carlo que tenta prever a pior perda provável para um portfólio dado um intervalo de confiança em um horizonte temporal especificado - sempre precisamos especificar dois Condições para VaR: confiança e horizonte. (Para leitura relacionada, veja Os Usos e Limites de Volatilidade e Introdução ao Valor em Risco (VAR) - Parte 1 e Parte 2.) Neste artigo, analisaremos um MCS básico aplicado a um preço de ações. Precisamos de um modelo para especificar o comportamento do preço das ações e use um dos modelos mais comuns em finanças: o movimento geométrico Browniano (GBM). Portanto, enquanto a simulação de Monte Carlo pode se referir a um universo de diferentes abordagens de simulação, começaremos aqui com os mais básicos. Onde começar Uma simulação de Monte Carlo é uma tentativa de prever o futuro muitas vezes. No final da simulação, milhares ou milhões de ensaios aleatórios produzem uma distribuição de resultados que podem ser analisados. As etapas básicas são: 1. Especificar um modelo (por exemplo, movimento geométrico browniano) 2. Gerar ensaios aleatórios 3. Processar a saída 1. Especificar um modelo (por exemplo, GBM) Neste artigo, usaremos o movimento Browniano geométrico (GBM) Que é tecnicamente um processo de Markov. Isso significa que o preço das ações segue uma caminhada aleatória e é consistente com (pelo menos) a forma fraca da hipótese de mercado eficiente (EMH): a informação de preços passados ​​já está incorporada e o próximo movimento de preços é condicionalmente independente dos movimentos de preços passados . (Para mais informações sobre EMH, leia Trabalhando através da hipótese do mercado eficiente e o que é a eficiência do mercado) A fórmula para GBM é encontrada abaixo, onde S é o preço das ações, m (o M grego) é o retorno esperado. S (sigma grego) é o desvio padrão dos retornos, t é o tempo, e e (Epsilon grega) é a variável aleatória. Se reorganizarmos a fórmula para resolver apenas a mudança no preço das ações, vemos que a GMB diz que a variação no preço das ações é o preço das ações S multiplicado pelos dois termos encontrados dentro dos parênteses abaixo: O primeiro termo é uma deriva e o segundo O termo é um choque. Para cada período de tempo, nosso modelo assume que o preço irá diminuir pelo retorno esperado. Mas a deriva será chocada (adicionada ou subtraída) por um choque aleatório. O choque aleatório será o desvio padrão s multiplicado por um número aleatório e. Esta é simplesmente uma maneira de dimensionar o desvio padrão. Essa é a essência do GBM, como ilustrado na Figura 1. O preço das ações segue uma série de etapas, em que cada passo é um drift plusminus um choque aleatório (em si mesmo uma função do desvio padrão dos estoques): Teoria Básica Movimento Browniano Geométrico e Outros processos estocásticos construídos a partir dele, costumam ser usados ​​para modelar crescimento populacional, processos financeiros (como o preço de uma ação ao longo do tempo), sujeitos a barulho aleatório. Definição Suponha que (bs) seja o movimento Browniano padrão e que (mu em R) e (sigma em (0, infty)). Deixe Xt expleftleft (mu - frac direita) t sigma Ztright, quad t in 0, infty) O processo estocástico (bs) é um movimento geométrico browniano com parâmetro de deriva (mu) e parâmetro de volatilidade (sigma). Observe que o processo estocástico deixou à direita) t sigma Zt: t in 0, infty) right é Brownian motion with drift parameter (mu - sigma2 2) e scale parameter (sigma), então o movimento Brownian geométrico é simplesmente o exponencial desse processo. Em particular, o processo é sempre positivo, uma das razões pelas quais o movimento geométrico Browniano é usado para modelar processos financeiros e outros que não podem ser negativos. Note também que (X0 1), então o processo começa em 1, mas podemos mudar isso facilmente. Para (x0 in (0, infty)), o processo () é o movimento geométrico browniano a partir de (x0). Você pode pensar sobre a combinação particular de parâmetros (mu - sigma2 2) na definição. A resposta curta à questão é dada no seguinte teorema: O movimento geométrico browniano (bs) satisfaz a equação diferencial estocástica d, Xt mu Xt, dt sigma Xt, dZt Observe que a parte determinista desta equação é a equação diferencial padrão para exponencial Crescimento ou decadência, com parâmetro de taxa (mu). Execute a simulação do movimento geométrico Browniano várias vezes no modo de passo único para vários valores dos parâmetros. Observe o comportamento do processo. As distribuições (f) aumentam e, em seguida, diminuem com o modo em (x expleftleft (mu - frac sigma2right) tright) (f) é côncava para cima, depois para baixo, e para cima novamente com pontos de inflexão em (x expleft (mu - sigma2) t pm frac Sigma sqrt right) Prova: Uma vez que a variável (Ut esquerda (mu - sigma2 2right) t sigma Zt) tem a distribuição normal com média ((mu - sigma22) t) e desvio padrão (sigma sqrt), segue - se que (Xt exp (Ut)) tem a distribuição lognormal com esses parâmetros. Estes resultam para o PDF, em seguida, seguem diretamente dos resultados correspondentes para o PDF lognormal. Em particular, o movimento geométrico browniano não é um processo gaussiano. Abra a simulação do movimento geométrico browniano. Varie os parâmetros e observe a forma da função de densidade de probabilidade de (Xt). Para vários valores dos parâmetros, execute a simulação 1000 vezes e compare a função de densidade empírica com a função de densidade de probabilidade real. Para (t in (0, infty)), a função de distribuição (Ft) de (Xt) é dada por Ft (x) Phileftfrac direito, quad x in (0, infty) onde (Phi) é a função de distribuição normal normal. Novamente, isso segue diretamente da CDF da distribuição lognormal. Para (t in (0, infty)), a função quantile (Ft) de (Xt) é dada por Ft (p) expleft (mu - sigma2 2) t sigma sqrt Phi (p) direito, quad p in (0, 1) onde (Phi) é a função de quantile padrão normal. Isso segue diretamente da função de quantile lognormal. Para (n em N) e (t em 0, infty), (Eleft (Xtnright) e) Isso decorre da fórmula para os momentos da distribuição lognormal. Para (t em 0, infty)), em particular, note que a função média (m (t) E (Xt) e) para (t in 0, infty)) satisfaz a parte determinística da equação diferencial estocástica acima. Abra a simulação do movimento geométrico browniano. O gráfico da função média (m) é mostrado como uma curva azul na caixa do gráfico principal. Para vários valores dos parâmetros, execute a simulação 1000 vezes e observe o comportamento do processo aleatório em relação à função média. Abra a simulação do movimento geométrico browniano. Varie os parâmetros e anote o tamanho ea localização da barra de desvio padrão médio (pm) para (Xt). Para vários valores do parâmetro, execute a simulação 1000 vezes e compare a média empírica e o desvio padrão com a média real e o desvio padrão. Propriedades O parâmetro (mu - sigma2 2) determina o comportamento assintótico do movimento geométrico browniano. Se (mu gt sigma2 2) então (Xt para infty) como (t para infty) com probabilidade 1. Se (mu lt sigma2 2) então (Xt para 0) como (t para infty) com probabilidade 1. Se (mu sigma2 2) então (Xt) não tem limite como (t para infty) com probabilidade 1. Prova: Estes resultados seguem a lei do logaritmo iterativo. Assintoticamente, o termo (esquerda (mu - sigma2 2right) t) domina o termo (sigma Zt) como (t para infty). Quando o parâmetro drift é 0, o movimento geométrico browniano é uma martingale. Se (mu 0), o movimento geométrico Brownian (bs) é uma martingal em relação ao movimento browniano subjacente (bs). Prova de integrais estocásticos Esta é a prova mais simples. Quando (mu 0), (bs) satisfaz a equação diferencial estocástica (d, Xt sigma Xt, dZt) e, portanto, Xt. Int0t Xs, dZs, quad t ge 0 O processo associado a uma integral estocástica é sempre uma martingale, assumindo os pressupostos usuais no processo integrando (o que está satisfeito aqui). Deixe (mathscr t sigma) para (t in 0, infty)), de modo que (mathfrak t: t in 0, infty)) seja a filtração natural associada a (bs). Deixe (s,, t em 0, infty)) com (s le t). Usamos nosso truque usual de escrita (Zt Zs (Zt-Zs)), para aproveitar as propriedades incrementais e estacionárias do movimento Browniano. Assim, Xt expleft-frac t sigma Zs sigma (Zt-Zs) direito Desde (Zs) é mensurável em relação a (mathscr s) e (Zt-Zs) é independente de (mathscr s) temos Eleft (Xt mid mathscr sright ) Expleft (-frac t sigma Zsright) Eleftsigma (Zt-Zs) direito Mas (Zt-Zs) tem a distribuição normal com média 0 e variância (t-s), então da fórmula para o momento gerando função da distribuição normal , Temos Eleftsigma (Zt - Zs) direita (direita) direita substituindo dá Eleft (Xt mids mathscr sright) expleft (-frac s sigma Zsright) Xs